MATEMÁTICAS - SECUNDARIA 3
Relaciones lineales no proporcionales
(LUN 23 NOV)
ACTIVIDAD:Recuerda que en tu libro de texto puedes localizar algunos ejemplos y secciones de apoyo para consolidar los aprendizajes.
En caso de que no cuentes con el libro de texto, tienes la opción de consultarlo a través de la página de la Comisión Nacional de Libros de Texto Gratuitos.
RESUMEN:
Observarás el siguiente video para reafirmar el tema. Recuerda revisar tus notas y escribir palabras clave para que así puedas dar seguimiento al recurso.
Analizarás la diferencia entre variación lineal proporcional y variación lineal no proporcional.
- Expresiones algebraicas de relaciones funcionales
youtube.com/watch?v=y3UWGXHYb-g
Te diste cuenta de las dos formas de expresiones algebraicas:
y = ax + b, para la variación lineal no proporcional, y
y = ax para variación lineal proporcional
Trabaja ahora con una situación cotidiana. Piensa qué sucede cuando en tu casa hierven agua para preparar algún alimento o bebida.
La temperatura del líquido aumentará conforme pase el tiempo. La temperatura y el tiempo son dos cantidades que puedes medir. ¿Cómo crees que variará la primera al cambiar la otra?
:
Observa el siguiente video del minuto 8:23 al 10:11 donde podrás saber el registro que se obtuvo al calentar el agua. Observa de qué tipo de variación lineal se trata.
- Pendiente y razón de cambio
youtube.com/watch?v=B_JxNROc-Hc&feature=youtu.be
Acabas de observar un ejemplo de variación lineal no proporcional. La ecuación de la forma y = mx + b es una expresión de variación lineal no proporcional, y puede representarse en tablas o gráficas.
Tienes que recordar que, en un fenómeno lineal, la gráfica correspondiente en una línea recta y su pendiente es igual a la razón de cambio entre las cantidades graficadas.
Observa otra situación de variación lineal no proporcional.
Recuerda que tienes que plantear una situación que corresponda a una relación de no proporcionalidad y explicar cómo puede representarse gráfica, tabular y algebraicamente.
Observa atentamente y recuerda tomar notas relevantes.
Para lograr ver mejor las opciones, lo que puedes hacer es una tabla, su gráfica y obtener también la expresión algebraica.
Observa la tabulación del problema. Primero toma en cuenta que hay que hacer un pago de salida de la bicicleta de 30 pesos para la tarifa 1, es decir, 30 más 15 pesos de la renta de cada hora, obteniendo lo siguiente:
Algo similar ocurre con la tarifa 2, ya que también se debe dar un pago de salida, pero en este caso es de 10 pesos; así quedaría el pago de una hora: 10 pesos de salida más los 20 pesos de la renta.
Una vez generadas las tablas, puedes obtener la expresión algebraica de la variación lineal de cada situación.
Recuerda tus notas relevantes para obtenerla.
Traslada la tabla a una función para conocer la relación entre variables numéricas, las cuales algebraicamente puedes denominar como:
"x" y "y"
Es decir, a cada valor de "x" le corresponde un único valor de "y".
Como puedes darte cuenta en la tabla de la tarifa 1, la razón de cambio es 15, ya que es el cociente de 2 cantidades que se relacionan.
En este caso, 15 entre 1, o bien con cualquier pareja de números, por ejemplo: 60 entre 4; 120 entre 8.
En todos los casos el resultado es el mismo: 15.
Si observas la tabla, puedes comprobar cada término, por ejemplo, si rentas 3 horas pagarías 45 pesos más los 30 de pago de salida, obteniendo así 75.
Recuerda que la forma de una variación lineal no proporcional es:
y = ax + b
Y para este caso:
y = 15x +30
15 es el valor que, multiplicado por el tiempo "x", permite saber cuánto pagar por hora, a lo que se tienen que sumar los 30 pesos del pago de salida.
b = 30, ya que es el valor que se sumará al producto.
Para obtener la razón de cambio de la tarifa 2, hay que relacionar lo que se paga con el tiempo de uso, entonces:
Si rentas por 2 horas, pagarás 40, entonces 40 entre 2 = 20, por ejemplo, y si obtienes los cocientes faltantes te darás cuenta de que el resultado es el mismo: 20; esta es la razón de cambio.
Si observas la tabla, puedes comprobar cada término; por ejemplo, si rentas 4 horas, pagarías 80 pesos más los 10 de pago de salida, obteniendo así, 90.
Y la expresión algebraica sería:
y = 20(x) + 10
Donde el 10 se suma, ya que es el pago de salida por alquilar la bicicleta.
Con la tabulación y la expresión algebraica, puedes contestar cuál te conviene más en determinado tiempo.
Sin embargo, hay otra forma de analizar los datos; es decir, puedes graficar los datos para obtener un mejor análisis de la situación.
Retoma la tabulación, puedes obtener las coordenadas para poder graficar cada tarifa. Es importante colocar el título de la gráfica, que en este caso la llamarás "Pago contra tiempo".
Cabe mencionar que las "x", o eje de las abscisas, representan el tiempo en horas en este caso.
Y el eje "y", de las ordenadas, el pago en este caso.
Trabaja en ubicar cada punto.
Para la tarifa 1:
x = 0, y = 30; este es el punto del pago de salida.
Para x = 1, y = 45
Para x = 2, y = 60
De la misma manera ubicas todos los puntos de la tabla y los unes con una línea recta.
Para la tarifa 2:
x = 0, y = 10; este es el punto del pago de salida.
Para x = 1, y = 30
Para x = 2, y = 50
De la misma manera ubicas todos los puntos de la tabla y éstos los unes con otra línea recta.
Nótese que se intersecan en el punto (4,90), y a partir de aquí se separan.
Recuerda esto para poder contestar las preguntas posteriormente.
Como puedes notar, obtienes líneas rectas en ambos casos. Además, ninguna recta pasa por el origen, por lo cual, se denominan variación lineal no proporcional con su forma:
y = ax + b
Donde "a" es la razón de cambio y la diferencia entre cada par de números de la columna de la "y".
Y "b" es el valor en el eje de las "y" por donde cruza la línea.
Ahora sí, puedes contestar las preguntas iniciales del problema:
- ¿Cuál le conviene rentar si ocupa la bicicleta sólo 3 horas?
- ¿Y cuál lugar de renta le conviene a Omar si ocupa la bicicleta 8 horas?
Observa nuevamente la gráfica donde se comparan ambas tarifas y contesta.
Como puedes observar en la gráfica de pago contra tiempo, ambas rectas coinciden cuando han pasado 4 horas de renta.
En ambas se pagarían, en total, 90 pesos, es decir, si Omar ocupa la bicicleta por ese lapso, cualquiera de las opciones es aceptable.
Ahora sí, para responder a las preguntas iniciales:
¿Cuál le conviene rentar si ocupa la bicicleta sólo 3 horas?
La tarifa 2, ya que pagaría 70 pesos, 5 pesos menos que la tarifa 1. Tal como se observa en la gráfica.
¿Y cuál le conviene si la ocupa 8 horas?
Para 8 horas le conviene la tarifa 1, pagando 150 pesos, 20 pesos menos que la tarifa 2.
Con el ejemplo de Omar, te puedes dar cuenta cómo la variación lineal puede ser también no proporcional.
No olvides poner en tus notas relevantes las características de la variación lineal no proporcional:
- La expresión algebraica es:
y = ax + b
- Y tiene como gráfica una línea recta que no pasa por el origen (0,0) en el plano cartesiano.
Recuerda que en tu libro de texto puedes localizar algunos ejemplos y secciones de apoyo para consolidar los aprendizajes.
En caso de que no cuentes con el libro de texto, tienes la opción de consultarlo a través de la página de la Comisión Nacional de Libros de Texto Gratuitos.
Observarás el siguiente video para reafirmar el tema. Recuerda revisar tus notas y escribir palabras clave para que así puedas dar seguimiento al recurso.
Analizarás la diferencia entre variación lineal proporcional y variación lineal no proporcional.
- Expresiones algebraicas de relaciones funcionales
youtube.com/watch?v=y3UWGXHYb-g
Te diste cuenta de las dos formas de expresiones algebraicas:
y = ax + b, para la variación lineal no proporcional, y
y = ax para variación lineal proporcional
Trabaja ahora con una situación cotidiana. Piensa qué sucede cuando en tu casa hierven agua para preparar algún alimento o bebida.
La temperatura del líquido aumentará conforme pase el tiempo. La temperatura y el tiempo son dos cantidades que puedes medir. ¿Cómo crees que variará la primera al cambiar la otra?
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Observa el siguiente video del minuto 8:23 al 10:11 donde podrás saber el registro que se obtuvo al calentar el agua. Observa de qué tipo de variación lineal se trata.
- Pendiente y razón de cambio
youtube.com/watch?v=B_JxNROc-Hc&feature=youtu.be
Acabas de observar un ejemplo de variación lineal no proporcional. La ecuación de la forma y = mx + b es una expresión de variación lineal no proporcional, y puede representarse en tablas o gráficas.
Tienes que recordar que, en un fenómeno lineal, la gráfica correspondiente en una línea recta y su pendiente es igual a la razón de cambio entre las cantidades graficadas.
Observa otra situación de variación lineal no proporcional.
Recuerda que tienes que plantear una situación que corresponda a una relación de no proporcionalidad y explicar cómo puede representarse gráfica, tabular y algebraicamente.
Observa atentamente y recuerda tomar notas relevantes.
Para lograr ver mejor las opciones, lo que puedes hacer es una tabla, su gráfica y obtener también la expresión algebraica.
Observa la tabulación del problema. Primero toma en cuenta que hay que hacer un pago de salida de la bicicleta de 30 pesos para la tarifa 1, es decir, 30 más 15 pesos de la renta de cada hora, obteniendo lo siguiente:
Algo similar ocurre con la tarifa 2, ya que también se debe dar un pago de salida, pero en este caso es de 10 pesos; así quedaría el pago de una hora: 10 pesos de salida más los 20 pesos de la renta.
Una vez generadas las tablas, puedes obtener la expresión algebraica de la variación lineal de cada situación.
Recuerda tus notas relevantes para obtenerla.
Traslada la tabla a una función para conocer la relación entre variables numéricas, las cuales algebraicamente puedes denominar como:
"x" y "y"
Es decir, a cada valor de "x" le corresponde un único valor de "y".
Como puedes darte cuenta en la tabla de la tarifa 1, la razón de cambio es 15, ya que es el cociente de 2 cantidades que se relacionan.
En este caso, 15 entre 1, o bien con cualquier pareja de números, por ejemplo: 60 entre 4; 120 entre 8.
En todos los casos el resultado es el mismo: 15.
Si observas la tabla, puedes comprobar cada término, por ejemplo, si rentas 3 horas pagarías 45 pesos más los 30 de pago de salida, obteniendo así 75.
Recuerda que la forma de una variación lineal no proporcional es:
y = ax + b
Y para este caso:
y = 15x +30
15 es el valor que, multiplicado por el tiempo "x", permite saber cuánto pagar por hora, a lo que se tienen que sumar los 30 pesos del pago de salida.
b = 30, ya que es el valor que se sumará al producto.
Para obtener la razón de cambio de la tarifa 2, hay que relacionar lo que se paga con el tiempo de uso, entonces:
Si rentas por 2 horas, pagarás 40, entonces 40 entre 2 = 20, por ejemplo, y si obtienes los cocientes faltantes te darás cuenta de que el resultado es el mismo: 20; esta es la razón de cambio.
Si observas la tabla, puedes comprobar cada término; por ejemplo, si rentas 4 horas, pagarías 80 pesos más los 10 de pago de salida, obteniendo así, 90.
Y la expresión algebraica sería:
y = 20(x) + 10
Donde el 10 se suma, ya que es el pago de salida por alquilar la bicicleta.
Con la tabulación y la expresión algebraica, puedes contestar cuál te conviene más en determinado tiempo.
Sin embargo, hay otra forma de analizar los datos; es decir, puedes graficar los datos para obtener un mejor análisis de la situación.
Retoma la tabulación, puedes obtener las coordenadas para poder graficar cada tarifa. Es importante colocar el título de la gráfica, que en este caso la llamarás "Pago contra tiempo".
Cabe mencionar que las "x", o eje de las abscisas, representan el tiempo en horas en este caso.
Y el eje "y", de las ordenadas, el pago en este caso.
Trabaja en ubicar cada punto.
Para la tarifa 1:
x = 0, y = 30; este es el punto del pago de salida.
Para x = 1, y = 45
Para x = 2, y = 60
De la misma manera ubicas todos los puntos de la tabla y los unes con una línea recta.
Para la tarifa 2:
x = 0, y = 10; este es el punto del pago de salida.
Para x = 1, y = 30
Para x = 2, y = 50
De la misma manera ubicas todos los puntos de la tabla y éstos los unes con otra línea recta.
Nótese que se intersecan en el punto (4,90), y a partir de aquí se separan.
Recuerda esto para poder contestar las preguntas posteriormente.
Como puedes notar, obtienes líneas rectas en ambos casos. Además, ninguna recta pasa por el origen, por lo cual, se denominan variación lineal no proporcional con su forma:
y = ax + b
Donde "a" es la razón de cambio y la diferencia entre cada par de números de la columna de la "y".
Y "b" es el valor en el eje de las "y" por donde cruza la línea.
Ahora sí, puedes contestar las preguntas iniciales del problema:
- ¿Cuál le conviene rentar si ocupa la bicicleta sólo 3 horas?
- ¿Y cuál lugar de renta le conviene a Omar si ocupa la bicicleta 8 horas?
Observa nuevamente la gráfica donde se comparan ambas tarifas y contesta.
Como puedes observar en la gráfica de pago contra tiempo, ambas rectas coinciden cuando han pasado 4 horas de renta.
En ambas se pagarían, en total, 90 pesos, es decir, si Omar ocupa la bicicleta por ese lapso, cualquiera de las opciones es aceptable.
Ahora sí, para responder a las preguntas iniciales:
¿Cuál le conviene rentar si ocupa la bicicleta sólo 3 horas?
La tarifa 2, ya que pagaría 70 pesos, 5 pesos menos que la tarifa 1. Tal como se observa en la gráfica.
¿Y cuál le conviene si la ocupa 8 horas?
Para 8 horas le conviene la tarifa 1, pagando 150 pesos, 20 pesos menos que la tarifa 2.
Con el ejemplo de Omar, te puedes dar cuenta cómo la variación lineal puede ser también no proporcional.
No olvides poner en tus notas relevantes las características de la variación lineal no proporcional:
- La expresión algebraica es:
y = ax + b
- Y tiene como gráfica una línea recta que no pasa por el origen (0,0) en el plano cartesiano.
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