miércoles, 21 de octubre de 2020

SEC2-CIE-22OCT

 

CIENCIAS - SECUNDARIA 2

Modelando la ciencia

(JUE 22 OCT)


ACTIVIDAD:

Reúnete con tu familia para reflexionar y darle respuesta a las siguientes preguntas:

 

  1. ¿Qué describe un modelo?
  2. ¿Qué explica y qué predice?
  3. Para hacer un modelo que explique cómo vuelan los aviones, es importante tener en cuenta el color del avión, ¿qué opinas?
  4. ¿Por qué es importante construir modelos?


RESUMEN:

Antes profundizar en el tema de lo que son los modelos científicos y su importancia en el desarrollo de las ciencias, lee el siguiente fragmento de la revista de divulgación que publica la UNAM.

 

Hay quien dice que la ciencia no puede explicarse sin matemáticas. Dicho de otra manera, que sólo puede entenderse qué es la ciencia cuando se entiende cómo logra resumir en ecuaciones matemáticas los resultados de años de estudio de la realidad, y cómo a partir de esas ecuaciones tan abstractas genera nuevos conocimientos que se aplican al mundo real.

Si lo pensamos bien, se trata de algo sorprendente: se estudia un fenómeno —digamos, el movimiento de los astros—; se construyen las ecuaciones que representan el comportamiento observado y luego, utilizando ya no un telescopio sino únicamente las matemáticas, pueden predecirse fenómenos que no se habían observado antes. Claro que luego hay que comprobar la exactitud de las predicciones. De hecho, así es como el astrónomo francés Le Verrier predijo la existencia y posición de Neptuno en 1846.

Las ecuaciones matemáticas son entonces un modelo de la realidad, y pueden usarse para explorar, en forma simulada, aproximada, su comportamiento. Un poco en la misma forma en que un modelo a escala de un barco o un avión pueden utilizarse para explorar el comportamiento del vehículo real en condiciones controladas, en un túnel de viento o en un simulador de olas.

Las simulaciones o modelos matemáticos en física han llegado a tener una gran complejidad. Actualmente muchos de los “descubrimientos” en física subatómica, cosmología y otras ramas se hacen usando estos modelos, y sólo después se comprueban mediante experimentos.

 

En otras ciencias, como la química y especialmente la biología, las cosas no son tan sencillas. En parte porque los sistemas que se estudian son mucho más complicados, por ejemplo, una célula viva o un organismo, y las ecuaciones para describirlos se complican demasiado. Ya existen, sin embargo, modelos que llegan a tener gran utilidad para entender y hasta predecir algunos fenómenos. La evolución de una población de organismos, por ejemplo, puede representarse matemáticamente. De esta manera se ha llegado a predecir la forma en que podría comportarse, por ejemplo, una epidemia.

Pero no todos los modelos usados en ciencia tienen que ser necesariamente matemáticos: algunos son más como maquetas, otros como conjuntos de conceptos sobre los que podemos pensar, sacar conclusiones y posteriormente realizar experimentos que las comprueben o refuten…

 

Modelos científicos

Los modelos, son una representación de una pequeña parte de la realidad, es decir, que de la complejidad del mundo que nos rodea se toman objetos, sistemas, procesos o fenómenos y se intentan explicar por medio de una abstracción que puede ser física, teórica, gráfica o simbólica, por ejemplo, los modelos del ADN o del sistema solar, que a escala ayudan a analizar, explicar o describir su funcionamiento de forma más entendible.

 

Un ejemplo más claro son las maquetas hechas por los arquitectos que proyectan la construcción de un edificio; ellos, a través de ese modelo pueden identificar cuál es la mejor forma y los materiales para construir, tomando en cuenta el tipo de suelo, si es zona sísmica, de inundación, o bien, cuál es la orientación adecuada para tener mejor iluminación.

 

A continuación, como ejemplo, observa el avance en la construcción del Aeropuerto Internacional Felipe Ángeles.

 

  1. Avance en la Construcción del Aeropuerto Internacional Felipe Ángeles.

https://www.youtube.com/watch?v=UsLZ9DVHcwA

 

Los modelos son una especie de puente entre la teoría y la práctica; por tanto, son uno de los principales instrumentos de la ciencia, ya que a partir de ellos se puede comprender un poco más de nuestro mundo.

Con los modelos, se pueden encontrar errores y corregirlos. Por ejemplo, Ptolomeo alrededor del año 100 de nuestra era, propuso el modelo geocéntrico para tratar de explicar el movimiento de los astros; durante mucho tiempo la gente pensaba que el sol y los planetas giraban alrededor de la Tierra; hasta el año 1543, Copérnico propuso el modelo heliocéntrico, colocando en el centro del sistema solar al sol y girando alrededor de él, a los planetas.

 

Tiempo después, Kepler encontró ciertos errores y logró perfeccionarlo al incluir órbitas elípticas en el modelo; así los modelos son perfectibles y modificables, en función de las variables que se toman en cuenta y de nuevos descubrimientos.

Astrónomos, filósofos y grandes pensadores de la historia fueron capaces de registrar sus observaciones por medio de alteraciones de modelos planetarios existentes, un sistema que hizo posible el progreso hacia la precisión y el entendimiento del sistema solar de la actualidad.

Un globo terráqueo es precisamente un modelo, porque intenta representar al planeta Tierra a escala manejable y comprensible, respetando la forma esférica de nuestro mundo. Aquí se pueden hacer muchos análisis, sin embargo, tiene una complicación, su forma esférica es difícil de transportar.

Una segunda forma de representar la Tierra es a través de los mapas, que por medio de una proyección cartográfica distorsionan el mundo para convertir la esfera en un plano. Los mapas son entonces una especie de modelo caracterizado por tener coordenadas geográficas, escalas, orientación y una información específica que se maneja con símbolos y colores adecuados.

 

La información que se puede plasmar en un mapa es enorme. Por ejemplo, en un mapa se pueden observar el modelo de las placas tectónicas, que no es más que la representación de los grandes fragmentos en que se divide la corteza terrestre. Con esta información se pueden identificar límites de placas y saber si una zona es sísmica o volcánica. 

 

Otro ejemplo es el mapa que plasma el modelo de los husos horarios, un sistema de organización internacional del tiempo que permite saber qué hora y día es en cada punto del planeta, a través de 24 franjas establecidas cada 15° de longitud.

Al hablar del planeta Tierra también se puede modelar su estructura interna, reconociendo tres esferas principales: la atmósfera, compuesta de gases, la hidrósfera, correspondiente al agua continental y oceánica, y la geosfera, que se refiere a la parte rocosa del mundo. Incluso, se puede modelar cada una de estas partes, por ejemplo, el modelo de las capas internas de la geosfera que muestra componentes y profundidad del núcleo, manto y corteza terrestre.

Existen temas que requieren de una mayor abstracción de la realidad para poder representarse, por ejemplo, el modelo aplicado por Walter Christaller en su Teoría de los Lugares Centrales, que explica la distribución de las actividades económicas y la población en áreas urbanas, representado mediante hexágonos; o bien, los modelos que intentan explicar la estructura y crecimiento de las ciudades, como el modelo de Anillos Concéntricos, de Sectores, de Núcleos Múltiples, o bien, los Modelos Aplicados a Ciudades Latinoamericanas.

Otro ejemplo, son los modelos matemáticos que, a partir de ecuaciones o algoritmos, muestran escenarios del pasado, presente o futuro mediante símbolos y reglas de dicha disciplina.

La actual pandemia de COVID-19 nos muestra la importancia de estos modelos, ya que plantean posibles escenarios en función de la presencia de ciertas variables, como puede ser, el uso del cubrebocas en espacios públicos o la presencia de otras enfermedades, como la diabetes, hipertensión u obesidad.

 

Para ampliar la comprensión del tema, observa el siguiente video.

 

  1. ¿Cómo se utilizan los modelos?

https://youtu.be/gYK9koU8DCs

 

Los modelos en la ciencia son representaciones teóricas, gráficas o simbólicas de la idea que se tiene sobre un fenómeno, además, permiten comprender el fenómeno real que representa.

El ser humano ha representado con esquemas o modelos simples los fenómenos naturales para entender por qué y cómo ocurren. Estas representaciones son comparaciones con el fenómeno real y modificadas hasta encontrar explicaciones satisfactorias de los fenómenos estudiados.

Cuando se dice “mi papá es mi modelo a seguir” o “me encanta ese auto último modelo”, se emplea la palabra “modelo” con distinto significado al que se le da en las Ciencias.

En esta asignatura, se utilizará la palabra modelo para hablar de la representación de un fenómeno, proceso u objeto.

Por ejemplo, para saber sobre las partes de un barco, el modelo que podría servirte para estudiarlas es un dibujo, porque en él puedes observar claramente todos los detalles.

Si se desea estudiar o comprender algo que es grande, chico o difícil, se realizan modelos para explicarlo. Para ampliar la comprensión del tema, observa el siguiente video.

 

  1. Los modelos en ciencia.

https://youtu.be/FyU-ExNyHpc

 

Un mismo modelo no ayuda a explicar todo un fenómeno. Por eso se utilizan: maquetas, dibujos, mapas, fotografías, simulaciones en computadora, gráficas, fórmulas, mapas mentales, mapas conceptuales, diagramas, esculturas, objetos a escala, entre muchos otros.

Un modelo científico nunca reproduce toda la realidad, sólo representa los elementos de interés que sean fácilmente manipulables. Es una representación simplificada de la realidad.

Las leyes de Newton, donde se representan las fuerzas que actúan sobre un objeto; las gráficas de posición-tiempo explican y predicen el movimiento de los objetos; las fórmulas de caída libre predicen y describen la velocidad, aceleración y posición de los objetos; y los diagramas de cuerpo libre esquematizan las fuerzas aplicadas sobre un objeto.

Los modelos son muy útiles para representar la realidad, pero no todos los modelos son útiles para representar lo mismo. Para ampliar la comprensión del tema, presta atención en la siguiente cápsula.

 

  1. Modelos científicos.

https://youtu.be/ETSN-V9x6tM

 

Entonces, los modelos son útiles porque son capaces de describir, explicar y predecir un fenómeno, proceso, sistema u objeto. Pero en el momento en que las predicciones del modelo no coinciden con lo observado, este se desecha, rechaza o modifica. Por eso los modelos están en constante construcción y modificación, como cuando Galileo Galilei se opuso a la idea de que la Tierra no era el centro del Universo, ese modelo del sistema solar se rechazó y modificó, aunque este proceso llevó casi un siglo.

Pero no sólo los científicos realizan modelos. Por ejemplo, un entrenador de futbol americano realiza un modelo al explicarle a los jugadores mediante un dibujo los movimientos, marcando con flechas que indican las jugadas y la estrategia a seguir.

Con todo lo visto en esta sesión ahora tú puedes construir un modelo.

No olvides consultar tu libro de texto en el tema correspondiente para profundizar o resolver las dudas que surgieron a lo largo de esta sesión.

SEC2-MAT-22OCT

 

MATEMÁTICAS - SECUNDARIA 2

Propiedades de figuras geométricas modeladas algebraicamente

(JUE 22 OCT)


ACTIVIDAD:


Pon en práctica lo que has aprendido, analiza qué información tienes para responder a la pregunta.

El siguiente modelo geométrico está formado por siete cuadrados, todos iguales. La expresión de uno de los lados de un cuadrado es de “2k – p”.

 

  • ¿Cuál es el perímetro del modelo geométrico?

 


RESUMEN:

Inicia con la siguiente pregunta.

 

¿Qué propiedades de las figuras geométricas conoces?

 

Tanto el perímetro como el área son propiedades de las figuras.

 

Se define el perímetro de una figura como la medida del contorno de la misma, expresada en unidades lineales. Por otra parte, el área se define como la medida de la superficie comprendida dentro de un perímetro, expresada en unidades cuadradas.

 

A continuación, observa el siguiente audiovisual con la finalidad de analizar los procedimientos para dar solución a los planteamientos que se presentarán.

 

  1. Expresiones algebraicas para calcular perímetros.

https://www.youtube.com/watch?v=GFuDLEedxpY

 

En el video anterior, se analizaron dos ejemplos donde interesa calcular el perímetro de un rectángulo y de un cuadrado. También se explicó que las figuras geométricas tienen una expresión general o fórmula, que es útil para calcular su perímetro, aunque no se cuenten con datos numéricos.

 

Ahora, utiliza la información para resolver la siguiente situación-problema.

 

Situación-problema 1

 

Jorge leyó en un libro de Matemáticas el siguiente planteamiento:

 

¿Cuál es el perímetro de un terreno cuadrado que tiene por lado ð‘¥ – 5?

 

 

Considera la explicación del video anterior: las figuras geométricas tienen una expresión general o fórmula que es útil para calcular, en este caso, su perímetro o área, aunque no se cuente con datos numéricos.

 

En este caso:

 

¿Cuál es la expresión general o fórmula?,

 

¿Qué datos numéricos o elementos geométricos se tienen para calcular el perímetro?

 

Cada lado del terreno cuadrado tiene por lado la expresión: x – 5

 

¿Qué expresión algebraica representa el perímetro del terreno cuadrado que mide por lado x – 5?

 

Observa qué respondieron tres alumnos de segundo de secundaria:

 

Joshua

 

Joshua representó el cálculo del perímetro del terreno cuadrado sumando la medida de cada uno de los lados, es decir, escribió:

 

P = (x – 5) + (x – 5) + (x – 5) + (x – 5)

 

Joshua dijo que P representa el perímetro.

 

Ruty

 

Ruty hizo lo siguiente, donde representó con “P” al perímetro:

 

P = 2(x – 5) + 2 (x – 5)

 

Graciela

 

Graciela efectuó:

 

P = 4(x - 5)

 

Reflexiona en las siguientes preguntas:

 

¿Quiénes de ellas y ellos realizaron correctamente la representación algebraica del cálculo del perímetro del terreno cuadrado que tiene por lado ð‘¥ – 5?

 

¿Cómo puedes saberlo?

 

¿Qué identificaste en las cuatro expresiones algebraicas?

 

En matemáticas hay diferentes maneras de representar una misma situación. Para comprobarlo, analiza los razonamientos de los alumnos.

 

Joshua realizó un procedimiento en apego a la idea de perímetro, que es sumar todos los lados de la figura en cuestión. De esta manera, Joshua sumó cuatro veces (𝑥 − 5) y las igualó a P, que representa el perímetro.

 

P = (x – 5) + (x – 5) + (x – 5) + (x – 5)

 

En el caso de Ruty, se puede inferir que asoció dos pares de lados paralelos, cuya medida es la misma, por ello establece la igualdad:

 

P = 2(x – 5) + 2 (x – 5)

 

Esta expresión también permite identificar que Ruty supone que el perímetro de la figura es P = 2b + 2a, es decir, el perímetro es la suma de dos veces la base y dos veces la altura.

 

Graciela, en cambio, representó el cálculo del perímetro considerando que un cuadrado tiene cuatro lados iguales, por lo que consideró abreviar la suma de los cuatro lados, como lo hizo Joshua, representando la multiplicación de la expresión x – 5 por 4, y la igualó con P, que es el perímetro del terreno.

 

P = 4(x - 5)

 

Por lo tanto, ningún alumno estaba equivocado, cada uno realizó una interpretación diferente pero equivalente para obtener el perímetro del terreno o para expresar el procedimiento para calcularlo.

 

Ahora, calcula la medida del perímetro del terreno cuadrado que tiene “x–5” por lado.

 

La expresión algebraica de Joshua se puede escribir como una suma vertical y, al realizarla, su resultado es: 4x – 20.

 

 

La expresión algebraica de Ruty se puede resolver al multiplicar el binomio x – 5 por 2, que es igual a 2x – 10 dos veces.

 

Finalmente se suman los términos semejantes, y queda:  P = 4x – 20.

 

 

Con el procedimiento de Graciela, se sabe que 4 veces ð‘¥ −5 es equivalente a 4(x – 5), por lo tanto, si P = 4 (x – 5) y al multiplicar por 4 al binomio (x-5), se tiene que: P = 4x –20

 

 

Por lo tanto, se comprueba que las tres expresiones algebraicas son equivalentes al resolverlas y obtener el mismo resultado. En este caso, se sabe que el perímetro o medida del contorno del terreno cuadrangular que mide por lado x – 5, es 4x – 20.

 

A continuación, presta mucha atención a la siguiente situación-problema.

 

Situación-problema 2

 

Juan Manuel es un alumno que disfruta resolver problemas matemáticos, y más si se trata de modelos geométricos. En esta ocasión contestará las siguientes preguntas asociadas al modelo geométrico que se muestra.

 

  1. ¿Cuál es el perímetro de cada cuadrilátero que conforma el modelo geométrico?,
  2. ¿cuál es el perímetro del modelo geométrico?,
  3. ¿y cuál es el área de la figura morada?

 

 

Ahora, observa con atención al modelo geométrico, ¿qué información provee?, ¿qué figuras lo componen?, ¿cómo son esas figuras?, ¿qué representan las letras a y equis?

 

Explora el modelo geométrico y anota las respuestas a las preguntas planteadas.

 

Si está en tus posibilidades, puedes elaborar el modelo geométrico si tienes hojas de colores, y si no, puedes colorearlo.

 

Analiza las características de cada uno de los cuatro cuadriláteros que conforman el modelo geométrico. Se sabe la medida de uno de los lados del cuadrilátero azul, y por su forma, se puede saber que es un cuadrado. Por lo tanto, todos sus lados miden “x”.

 

 

En cuanto al cuadrilátero anaranjado. Sus medidas son diferentes, por lo tanto, sus lados también lo son. Ello confirma que se trata de un rectángulo, cuya base mide “a”, y su altura “x”.

 

El cuadrilátero morado. Por su forma, es un cuadrado de lado “a”.

 

 

El cuadrilátero verde no tiene medidas, pero a través del análisis, se sabe que es un rectángulo, y que mide de altura “a”, y de base, “x”.

 

Observa nuevamente la imagen del modelo geométrico para analizar e ir contestando las preguntas que guiaron la observación del modelo.

 

 

¿Qué información provee el modelo geométrico?

 

  • Al analizar su composición, se pueden deducir las características de las figuras que lo forman, así como ampliar datos como, por ejemplo, las medidas de algunos de sus lados.

 

¿Qué figuras lo componen?

 

  • Se trata de dos cuadrados. Uno de ellos, el morado que tiene por lado “a”, y el cuadrado azul que tiene por lado “x”.

 

  • Asimismo, el modelo geométrico está conformado por dos rectángulos que son iguales. Su base es “x” y su altura es “a”.

 

¿Cómo son esas figuras?

 

  • Todas son cuadriláteros, ya que tienen cuatro lados.

 

¿Qué representan las literales “a” y “x”?

 

  • Representan los lados de los cuadriláteros, de manera correspondiente.

 

Con esta información puedes responder todas las preguntas.

 

  1. ¿Cuál es el perímetro de cada cuadrilátero?

 

Para responder a la primera pregunta, necesitas calcular el perímetro de cada cuadrilátero.

 

 

Considera el cuadrado morado, cuyo lado mide “a”. Su perímetro es:

 

P = a + a + a + a

 

P = 2a + 2a

 

P = 4a

 

En cuanto al cuadrado azul, cuyo lado mide “x”. Realiza el mismo razonamiento. Su perímetro es:

 

P = x + x + x + x

 

P = 2x + 2x

 

P = 4x

 

Considera el rectángulo verde, cuya medida de la base es “x” y su altura es “a”. Haciendo el mismo razonamiento, su perímetro es:

 

P = a + a + x + x

 

P = 2a + 2x

 

P = 2(a + x)

 

Por último, considera el rectángulo anaranjado, cuya medida de la base es “a” y su altura es “x”. Realiza el mismo razonamiento y:

 

P = a + a + x + x

 

P = 2a + 2x

 

P = 2(a + x)

 

Las expresiones anteriores correspondientes a cada cuadrilátero son equivalentes y representan de forma diferente el perímetro de cada figura.

 

Ahora busca la respuesta de la segunda pregunta:

 

  • ¿cuánto mide el perímetro del modelo geométrico? 

 

Plantea preguntas que te ayuden a inferir información para obtener el perímetro del modelo geométrico.

 

¿Cuál es la medida de cada lado?

 

Analiza el modelo geométrico.

 

Se sabe que un lado del modelo geométrico está compuesto por un cuadrado y por un rectángulo. La conjunción “y” la puedes interpretar como una suma de los lados exteriores del cuadrado y del rectángulo que lo forman, por lo que se puede decir que tanto la base como la altura del modelo geométrico son iguales a: “x + a” o “a + x”.

 

 

Esta información te ayudará para determinar el perímetro del modelo geométrico. Se puede representar el procedimiento de la siguiente manera:

 

𝑃 = (a + x) + (a + x) + (x + a) + (x + a)

 

𝑃 = 2(a + x) + 2(x + a)

 

P = 2a + 2x + 2x + 2a

 

P = 4(x + a)

 

P = 4x + 4a

 

De esta manera, todas las expresiones anteriores representan el perímetro, pero de diferentes formas; es decir, son expresiones equivalentes. 

Ahora, contesta la última pregunta:

  • ¿Cuál es el área de la figura morada?

Considera que el área es una medida diferente de la del perímetro. El área se expresa en unidades cuadradas. 

¿Cómo se calcula el área de un cuadrado?

El área del cuadrado se calcula al multiplicar lado por lado, o bien elevando al cuadrado su lado.

El lado del cuadrado morado es “a”, por lo tanto, su área se representa como:

 

 

Las expresiones: “(a)(a)” y “a2”, serían las únicas dos expresiones equivalentes.

 

En esta sesión, aprendiste a representar algebraicamente propiedades de figuras geométricas realizando algunos problemas traducidos en expresiones algebraicas. Para calcular el perímetro de una figura, es necesario realizar la suma de todos sus lados.

 

También aprendiste que cada lado de las figuras se ha representado con una expresión algebraica, y has estudiado diversas expresiones equivalentes para calcular el perímetro o área de las figuras. Aprendiste que todas las expresiones algebraicas equivalentes representan lo mismo de diferentes maneras.

 

Recuerda que este es un material de apoyo y que puedes consultar otras fuentes para complementar lo que aprendas aquí.

 

Revisa y aplica lo aprendido apoyándote en tu libro de texto de Matemáticas de segundo grado, buscando el tema que estudiaste en esta sesión.

La geometría es una parte de las matemáticas que te ayuda a desarrollar tu pensamiento geométrico.

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